2011/2012 — Весенний семестр
Введение в тензорный анализ
Семестровый курс по выбору.
Разделы: Математика, Математическая физика.
Кафедра теоретической механики.
Первое занятие 22 февраля (среда) в 18:30. Аудитория: 532 ГК.
Лектор: Ханукаев Ю. И., доцент каф. теоретической механики.
В настоящее время без понятия тензор немыслимо освоение основ механики. Например, для описания состояния деформируемого элемента сплошной среды векторный аппарат оказывается недостаточным. Равновесие и кинематика элемента сплошной среды определяются соответственно тензором напряжений и тензором скоростей. В связи с этим уравнения динамики сплошной среды также носят тензорный характер. Многомерная дифференциальная геометрия, описывающая внутренние свойства многообразия, — это геометрия тензоров. Все физические поля, форминвариантные относительно преобразования Лоренца, имеют кватернионную природу. Кватернионы изоморфны матрицам. Следовательно, уравнениям электродинамики и гравитодинамики можно придать матричную форму, аналогичную тензорной.
Рассмотрено возникновение понятия тензор в механике твердого тела, линейной теории упругости, гидроаэромеханике, дифференциальной геометрии поверхностей, теории поля, общей теории относительности.
Систематическое использование диад, триад и т. д. для представления тензоров делает тензорный анализ аналогичным векторному анализу, а индексный формализм тензорного анализа естественнным для восприятия.
Тема 1. Одновалентные и многовалентные тензоры:
- тензор упругих напряжений;
- тензор инерции твёрдого тела;
- тензор поворота;
- инвариантные операции;
- инварианты тензора.
Тема 2. Тензорные поля:
- производная по направлению;
- поток вектора через поверхность;
- расхождение вектора; теорема Гаусса;
- циркуляция вектора вдоль контура;
- вихрь вектора; теорема Стокса.
Тема 3. Оператор Гамильтона:
- примеры;
- тензор скоростей деформаций;
- расхождение тензора;
- система уравнений гидромеханики;
- применение к теории упругости;
- применение к теории электромагнитного поля.
Тема 4. Криволинейные координаты:
- исходный и взаимный базисы;
- метрические тензоры;
- ковариантные и контравариантные преобразования тензора;
- ковариантное и контравариантное дифференцирование тензора;
- символы Кристоффеля;
- оператор набла в ортогональных криволинейных координатах.
Тема 5. Неевклидовы геометрии:
- внутренняя геометрия поверхностей, первая фундаментальная квадратичная форма;
- геодезические;
- тензорные производные;
- тензор Римана-Кристоффеля и гауссова кривизна.
Тема 6. Геометрия поверхностей:
- геометрия кривых, формулы Серре-Френе;
- вторая и третья фундаментальные квадратичные формы поверхности;
- уравнения Гаусса-Кодацци;
- кривые на поверхности;
- теорема Менье;
- параллельные векторные поля;
- теоремы Гаусса и Боне.
Тема 7. Основные понятия линейной теории упругости:
- поле напряжений сплошной среды;
- внешние и внутренние силы;
- необходимые условия равновесия сплошной среды;
- тензор напряжений;
- линейный тензор деформаций;
- тензоры конечной деформации;
- обобщенный закон Гука.
Тема 8. Элементы общей теории относительности:
- релятивистская динамика;
- принцип относительности;
- решение Шварцшильда.
Литература.
См. на доске объявлений кафедры теоретической механики
Что развивает курс (данные для «Вектора»)
- Физика (развивает косвенно)
Информация о развиваемых компетенциях занесена в систему для работы «Вектора». Поскольку занесение информации производится редакторами проекта, а не авторами курсов, информация может быть неполной или даже частично неверной. Если Вы нашли ошибку, напишите нам об этом. См. также подробнее о системе «Вектор» и полный список компетенций.
