2011/2012 — Осенний семестр
Математический кружок «Современные приложения функционального анализа и дискретной математики»
Годовой курс по выбору (проводится еженедельно по 2 пары в течение осеннего семестра).
Разделы: Математика.
Кафедра математических основ управления.
Проходит: по вторникам с 17:00 до 20:00, первое занятие 6 сентября в 239 НК. Аудитория: Б. Физ (ЛК) (кроме 6 сентября).
Цель математического кружка — познакомить и научить студентов (на интересных примерах, имеющих прикладное значение) пользоваться важными математическими конструкциями, не вошедшими в стандартные курсы МФТИ. Выбранные фундаментальные вопросы и темы, на взгляд авторов курса, входят в «джентльменский набор» современного специалиста в области прикладной математики. Изучение предложенных тем в сочетании с основными институтскими и факультетскими курсами необходимо для формирования современного целостного представления о математике и её возможных приложениях. Кружок будет также полезен и аспирантам для подготовки к сдаче кандидатского минимума.
1. Теорема Стокса. Дифференциальные формы. Теорема Фробениуса. Формула Гаусса- Бонне. Кривизна Гаусса, Риччи // М. Исаев, А. Гасников.
2. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Алгебра Ли. Понижение порядка. Автомодельные решения. Лианеризация. Явные решения уравнений в частных производных. Частичные симметрии. Метод дифференциальных связей // А. Гасников, С. Городецкий.
3. Эволюционная теория игр. Процедура нащупывания по Курно. Равновесие Нэша — как устойчивое положение равновесия динамики нащупывания наилучших ответов // С. Городецкий, А. Гасников.
4. Функциональный анализ и уравнения в частных производных. Метод исчезающей вязкости. Обобщенные решения. Определение С.Н. Кружкова. Компенсированная компактность. Связь решений краевых задач для эллиптических уравнений со случайными блужданиями. Представления решения задачи Коши математическими ожиданиями функционалов от случайных процессов. Пространства Соболева. Теоремы вложения // В. Ж. Сакбаев.
5. Полиномиальные алгоритмы выпуклой оптимизации. Сложность задач оптимизации. Полиномиальные алгоритмы Нестерова-Немировского. Самосогласованные барьеры. Стохастический антиградиентный спуск для задач огромной размерности // П. Двуреченский, А. Орлов.
6. О равновесиях макросистем. Эргодическая теорема для марковских процессов (каплинг, принцип сжимающих отображений, конусные методы). Явление концентрации меры (некоторые результаты А. Пуанкаре, П. Леви, В. Д. Мильмана). Теорема Громова-Леви, связь с кривизной Риччи. Оценка скорости сходимости к равновесию (оценка спектральной щели). Модель «Кинетика социального неравенства», модель «хищник-жертва», модели миграции и др. // А. Гасников, Т. Нагапетян, А. Колесников.
7. Производящие функции. Метод коэффициентов Егорычева. Лемма Бернсайда. Теория Пойа. Подход Дж.-К. Рота (перечислительная комбинаторика) — обобщение метода «включения и исключения». Теорема Лагранжа (уравнение на грамматики) /У Р. Гимадеев, Е. Ежова, Е. Молчанов.
8. Аналитическая (асимптотическая) комбинаторика. Использование аппарата производящих функций и метода перевала (Лапласа, стационарной фазы) для оценки асимптотических значений чисел, имеющих комбинаторную (вероятностную) природу //’ Е. Ежова, М. Исаев, А. Гасников.
