2010/2011 — Осенний семестр

Разделы

Введение в тензорный анализ

Семестровый курс по выбору.

Разделы: Математика, Математическая физика.

Кафедра теоретической механики.

Первое занятие 15 сентября в 18:30. Аудитория: 430.

Лектор: доц. Ханукаев Ю. И.

Курс рассчитан на студентов 2 — 5 курсов.

В настоящее время без понятия тензора немыслимо освоение основ механики. Равновесие и кинематика деформируемого элемента сплошной среды определяются, соответственно, тензором напряжений и тензором скоростей. В связи с этим уравнения динамик сплошной также носят тензорный характер. Дифференциальная геометрия, описывающая внутренние свойства многообразия, это геометрия тензоров.

Все физические поля, форминвариантные относительно преобразования Лоренца, имеют кватернионную природу. Кватернионы изоморфны тензорам. Уравнения электродинамики, гравитодинамики имеют тензорную природу.

Диадное представление тензора снимает все индексные трудности.

1. Одновалентные и многовалентные тензоры:

тензор упругих напряжений;
тензор инерции твёрдого тела;
тензор поворота;
инвариантные операции;
инварианты тензора.

2. Тензорные поля:

производная по направлению;
поток вектора через поверхность;
расхождение вектора;
теорема Гаусса;
циркуляция вектора вдоль контура;
вихрь вектора;
теорема Стокса.

3. Оператор Гамильтона:

примеры;
тензор скоростей деформаций;
расхождение тензора;
система уравнений гидромеханики;
простейшие модели жидких сред;
применение к теории упругости.

4. Криволинейные координаты:

исходный и взаимный базисы;
метрические тензоры;
ковариантные и контравариантные преобразования тензора;
ковариантное и контравариантное дифференцирование тензора;
символы Кристоффеля;
оператор набла в ортогональных криволинейных координатах.

5. Неевклидовы геометрии:

геометрия кривых, формулы Серре-Френе;
внутренняя геометрия поверхностей, первая фундаментальная квадратичная форма;
геодезические;
тензорные производные;
тензор Римана-Кристоффеля и гауссова кривизна.

6. Вторая и третья фундаментальные формы поверхности:

уравнения Гаусса-Кодацци;
кривые на поверхности;
теорема Менье;
параллельные векторные поля;
теоремы Гаусса и Боне.

7. Аналитическая механика:

уравнения динамики голономных систем в независимых координатах;
уравнения динамики систем с удерживающими связями;
уравнения динамики в избыточных координатах и независимых импульсах;
критерии канонического преобразования;
метод Гамильтона-Якоби;
гамильтонова механика в избыточных координатах.

8. Поля кватернионов:

оператор набла-кватернион;
кватернионы в криволинейных ортогональных координатах;
релятивистская форм инвариантность полей кватернионов;
поля кватернионов как обобщение уравнений Максвелла;
гипотезы;
динамическая теория гравитации.

9. Основные понятия линейной теории упругости:

поле напряжений сплошной среды;
внешние и внутренние силы;
необходимые условия равновесия сплошной среды;
тензор напряжений;
линейный тензор деформаций;
тензоры конечной деформации;
обобщенный закон Гука.

10. Элементы общей теории относительности.

релятивистская динамика;
принцип относительности;
решение Шварцшильда.

Литература.

1. Валландер С.В. Лекции по гидромеханике. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005.
2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике.: ФИЗМАТЛИТ, М. 2001.
3. Кильчевский Н.А. Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике.: Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, М. 1954.
4. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М.: Изд-во МФТИ. 1996.
5. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.
6. Ламб Г. Гидродинамика.: ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, М.Л. 1947.
7. Лурье А.И. Теория упругости.: Изд-во «НАУКА», Главная ред. физ-мат лит-ры, М. 1970.
8. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, М. 1963.
9. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.: Изд-во «НАУКА» Главная ред. Физ-мат лит-ры, М. 1967.
10. Сокольников И.С. Тензорный анализ.: Изд-во «НАУКА» Главная ред. физ-мат литры, М. 1971.
11. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма.: ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теор. литры, М.Л. 1948.
12. Шефер Клеменс. Теоретическая физика. Механика сплошных сред.: Объединённое научно-техн. изд-во НКТП СССР. Главн. ред. общетехн. лит-ры и номографии М.Л.1936.

Что развивает курс (данные для «Вектора»)

Физика (развивает косвенно)

Информация о развиваемых компетенциях занесена в систему для работы «Вектора». Поскольку занесение информации производится редакторами проекта, а не авторами курсов, информация может быть неполной или даже частично неверной. Если Вы нашли ошибку, напишите нам об этом. См. также подробнее о системе «Вектор» и полный список компетенций.